Die Addition und Subtraktion von Vektoren sowie die Multiplikation mit einer Zahl erfolgen koordinatenweise:
Beispiel:
a = , b =
a + b =
a − b =
3·a =
Den Betrag eines Vektors berechnet man mit Hilfe des Satzes von Pythagoras:
Beispiel:
Von einem Parallelogramm kennt man die Eckpunkte A(1/0), B(5/2) und D(−2/3). Berechne den fehlenden Eckpunkt und den Umfang!
Wir berechnen die Seitenvektoren: AB = , AD =
AB = DC, wir müssen also den Vektor AB von D aus auftragen:
, C hat also die Koordinaten C(2/5).
(Wir hätten auch AD von B aus auftragen können.)
Die Seitenlängen sind a = = 4,47 und b = = 4,24.
Der Umfang beträgt u = 2·(a + b) = 17,43.
Zwei Vektoren sind parallel, wenn der eine ein Vielfaches des anderen ist.
Beispiel: u = , v =
v = -3·u ⇒ u // v
Im Raum rechnet man analog mit 3 Koordinaten.
Zu einem gegebenen Vektor in der Ebene findet man einen Normalvektor, indem man die Koordinaten vertauscht und bei einer Koordinate das Vorzeichen ändert:
nL erhält man, wenn man a um 90° nach links dreht, nR bei Drehung von a um 90° nach rechts. (Im Raum gibt es zu einem gegebenen Vektor unendlich viele Normalvektoren, daher geben wir dafür keine Formel an.)
Beispiel:
a = ⇒nL = , nR =
Den Mittelpunkt einer Strecke AB erhält man, indem man z.B. von A aus die Hälfte des Vektors AB
aufträgt:
MAB = A + ½·AB = A + ½·(B − A) = ½·A + ½·B
Wir erhalten daher die leicht zu merkende Formel:
MAB = ½·(A + B)
(Jetzt kannst du den Abschnitt "Parameterform der Geradengleichung" durchnehmen.)
Es ist auch möglich, eine Art Vektormultiplikation zu definieren - allerdings ist das Produkt ein Skalar (eine Zahl).
Wir bezeichnen mit ba die Normalprojektion des Vektors b auf den Vektor a. Dann definiert man das
Skalarprodukt a·b folgendermaßen:
a·b = |a|·|ba|, wenn a und ba die gleiche Richtung haben
a·b = −|a|·|ba|, wenn a und ba entgegengesetzte Richtungen haben.
Anders ausgedrückt: Schließen die Vektoren a und b den Winkel α ein, so ist
a·b = |a|·|b|·cos(α) (*)
Sind a und b parallel, so ist a·b = |a|·|b|.
(Sonderfall: a·a = |a|2.)
Stehen a und b normal aufeinander, so ist a·b = 0.
Im Speziellen gilt für die Basisvektoren ex und ey:
ex·ex = ey·ey = 1, ex·ey = 0.
Man kann zeigen:
Es gilt das Kommutativgesetz: a·b = b·a,
das Assoziativgesetz: (k·a)·b = k·(a·b)
und das Distributivgesetz: a·(b + c) = a·b + a·c
Damit können wir das Skalarprodukt zweier Vektoren, die in Koordinatendarstellung gegeben sind,
folgendermaßen berechnen:
=
Aus der Gleichung (*) können wir jetzt den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen:
Im Raum rechnet man analog mit 3 Koordinaten.
Lernziele
Zu diesem Thema gibt es einige Tests auf mathe online:
Vektoren erkennen (http://www.mathe-online.at/tests/vect1/erkennen.html)
Vektoraddition (http://www.mathe-online.at/tests/vect1/va.html)
Vektorsubtraktion (http://www.mathe-online.at/tests/vect1/differenz.html)
Skalarprodukt (http://www.mathe-online.at/tests/vect2/skalarprodukt.html)