Kurvendiskussionen

Mithilfe der Differentialrechnung können wir Funktionsgraphen untersuchen (diskutieren): Wo ist die Funktion steigend bzw. fallend, wo gibt es besondere Punkte wie Hochpunkte, Tiefpunkte, Wendepunkte?

Vorbemerkung 1:
Wenn wir den Funktionswert zu einem gegebenen x suchen, müssen wir x in die ursprüngliche Funktion einsetzen.
Wenn wir die Steigung an einer gegebenen Stelle suchen, müssen wir x in die 1. Ableitung einsetzen.

Vorbemerkung 2 (für Profis):
f(x) soll im Folgenden immer eine zweimal stetig differenzierbare Funktion sein.

Die Bedeutung der 1. Ableitung

Die 1. Ableitung gibt die Änderung des Funktionswertes an, d.h. die Steigung des Funktionsgraphen an einer bestimmten Stelle.

	Ist f'(x) > 0, ist die Funktion monoton steigend.
	Ist f'(x) < 0, ist die Funktion monoton fallend.
	Ist f'(x) = 0, hat der Graph an dieser Stelle eine waagrechte Tangente. Es kann sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handeln ...
	aber auch um einen Wendepunkt mit einer waagrechten Tangente. Um das zu entscheiden, brauchen wir die 2. Ableitung.

Die Bedeutung der 2. Ableitung

Die 2. Ableitung gibt die Änderung der Steigung an. Sie gibt also Auskunft über die Krümmung des Graphen.

	Ist f''(x) > 0, wird die Steigung größer. Die Kurve ist daher linksgekrümmt (positiv gekrümmt, konvex).
	Ist f''(x) < 0, wird die Steigung kleiner. Die Kurve ist daher rechtsgekrümmt (negativ gekrümmt, konkav).
	Bei einem Wendepunkt ändert sich die Krümmungsrichtung. An dieser Stelle ist f''(x) = 0. (Zur Sicherheit sollte man noch überprüfen, ob f'''(x) ≠ 0 ist - sonst kann es sich auch um einen Flachpunkt handeln.)

Besondere Punkte des Graphen

Aus diesen Überlegungen empfiehlt sich folgendes Vorgehen bei Kurvendiskussionen:

Beispiel:

• Gegeben ist die Funktion f:

  f(x) = 1/4·(x³ − 3·x² − 9·x + 27)

  Ermittle die Nullstelle, Extrempunkte, Wendepunkt und Gleichung der Wendetangente!

  Wir bilden zuerst die Ableitungen:

  f'(x) = 1/4·(3·x² − 6·x − 9)
  f''(x) = 1/4·(6x − 6)
  f'''(x) = 1/4·6 = 3/2

  • Nullstellen: f(x) = 0
    x³ − 3·x² − 9·x + 27 = 0

    Diese Gleichung können wir z.B. mit dem Hornerschema oder mit Technologie lösen und erhalten:
    x₁ = −3, x_2,3 = 3
    Es gibt also zwei Nullstellen:

    N_{1 =} (−3/0), N₂ = (3/0)

  • Extrempunkte: f'(x) = 0
    3·x² − 6·x − 9 = 0
    x₁ = −1, x₂ = 3

    Die dazugehörigen y-Werte erhalten wir durch Einsetzen in die Funktion:
    y₁ = f(x₁) = 1/4·((−1)³ − 3·(−1)² − 9·(−1) + 27) = 8
    y₂ = f(x₂) = 1/4·(3³ − 3·3² − 9·3 + 27) = 0
    (Die Berechnung von y₂ hätten wir uns auch sparen können, da wir bereits wissen, dass (3/0) eine Nullstelle ist!)
    Es gibt also zwei Extrempunkte: E₁ = (−1/8), E_{2 =} (3/0)

    Um festzustellen, ob es sich um Hoch− oder Tiefpunkte handelt, setzen wir die x−Werte in die 2. Ableitung ein:
    f''(x₁) = 1/4·(6·(−1) − 6) = −3 < 0 ⇒ Hochpunkt
    f''(x₂) = 1/4·(6·3 − 6) = 3 > 0 ⇒ Tiefpunkt

    H = (−1/8), T = (3/0)

  • Wendepunkt: f''(x) = 0
    6·x − 6 = 0
    x = 1

    Den y-Wert erhalten wir durch Einsetzen in die Funktion:
    y = f(x) = 1/4·(1³ − 3·1² − 9·1 + 27) = 4

    Da f'''(x) ≠ 0, handelt es sich wirklich um einen Wendepunkt.

    W = (1/4)

    Um die Steigung der Wendetangente zu berechnen, müssen wir x in die 1. Ableitung einsetzen:
    f'(1) = 1/4·(3·1² − 6·1 − 9) = −3
    Die Tangente geht durch den Wendepunkt:
    −3·1 + d = 4 ⇒ d = 7

    t_W: y = −3·x + 7

  Nun können wir den Funktionsgraphen zeichnen:

  

Symmetrieeigenschaften

	Wenn nur gerade Potenzen von x (und eventuell eine Konstante) vorkommen, gilt für alle x: f(−x) = f(x) Eine solche Funktion nennt man gerade Funktion. Ihr Graph ist symmetrisch zur y-Achse.
	Wenn nur ungerade Potenzen von x vorkommen, gilt für alle x: f(−x) = −f(x) Eine solche Funktion nennt man ungerade Funktion. Ihr Graph ist symmetrisch zum Koordinatenursprung.

Asymptoten

Eine Asymptote einer Kurve ist eine Gerade, der sich die Kurve immer mehr nähert.
Asymptoten können zum Beispiel bei gebrochen rationalen Funktionen auftreten.

Beispiel:

• Ermittle die Asymptoten der Funktion .

  • Senkrechte Asymptote:

    Die Funktion ist für x = −1 nicht definiert. Wenn x sich diesem Wert nähert, gehen die Funktionswerte gegen +∞ (von rechts) bzw. −∞ (von links). Der Graph hat also dort eine senkrechte Asymptote;

    a₁: x = −1

  • Schräge Asymptote:

    Eine Polynomdivision ergibt: .
    Wenn x gegen (plus oder minus) unendlich geht, geht der Bruch gegen Null. Der Graph nähert sich daher der Geraden:

    a₂: y = x − 1

  

Übungen:
Polynomfunktionen - Gebrochen rationale und Exponentialfunktionen

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