Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung haben wir es mit Zufallsexperimenten zu tun.
Der Ergebnisraum Ω ist die Menge aller möglichen Ergebnisse eines solchen Experiments.
Ein Ereignis A ist eine Teilmenge von Ω.
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A eintritt, bezeichnen wir mit P(A).

Klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition nach Laplace:

P(A) =

Anzahl der für A günstigen Fälle Anzahl der möglichen Fälle

Beispiel: Bei einmaligem Würfeln mit einem sechseitigen Würfel ist Ω = {⚀, ⚁, ⚂, ⚃, ⚄, ⚅}.
Die Wahrscheinlichkeit für einen Sechser beträgt P(⚅) = ¹/₆.

Rechenregeln:

0 ≤ P(A) ≤ 1	(das unmögliche Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 0, das sichere Ereignis die Wahrscheinlichkeit 1)
P(A oder B) = P(A) + P(B), wenn A und B einander ausschließen	z.B.: P(⚄ oder ⚅) = 1/6 + 1/6 = 2/6
P(A') = 1 − P(A) (Gegenereignis: A' = "nicht A")	z.B.: P(nicht ⚅) = 1 − 1/6 = 5/6
P(A und B) = P(A)·P(B), wenn A und B voneinander unabhängig sind	z.B.: bei 2maligem Würfeln ist P(2 × ⚅)= 1/6·1/6 = 1/36

Beispiele:

• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 2maligem Würfeln mindestens 1 mal "6" zu werfen?
  Wir können die günstigen und möglichen Fälle abzählen (kompliziert) oder so überlegen:
  Die Wahrscheinlichkeit für "0 × ⚅" beträgt ⁵/₆·⁵/₆ = ²⁵/₃₆.
  "Mindestens 1 × ⚅" ist das Gegenereignis dazu, also
  P(mind. 1 × ⚅) = 1 − P(0 × ⚅) = 1 − ²⁵/₃₆ = ¹¹/₃₆.

• Wie oft muss man mindestens würfeln, um mit 90% Wahrscheinlichkeit mindestens 1 mal "6" zu werfen?
  Analog zum vorigen Beispiel erhält man bei n-maligem Würfeln
  P(mind. 1 × ⚅) = 1 − (⁵/₆)ⁿ
  Das soll 90 % = 0,9 sein:
  1 − (⁵/₆)ⁿ = 0,9
  Durch Umformen und Logarithmieren erhalten wir
  = 12,6
  d.h. man muss 13 mal würfeln.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Unter der bedingten Wahrscheinlichkeit P(B|A) (B unter der Bedingung A) versteht man die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis B eintritt, wenn man bereits weiß, dass das Ereignis A eingetreten ist. Es gilt:

P(B|A) = P(A und B)/P(A)

(Das ist nur eine Abwandlung der Regel "günstige durch mögliche Fälle". Die möglichen Fälle sind jetzt nur mehr die, die zum Ereignis A gehören.)

Beispiele:

• Die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln unter der Bedingung, dass das Ergebnis gerade ist, beträgt ¹/₆/¹/₂ = ¹/₃.

• Ein Spieler hat schon viermal hintereinander eine 6 gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim fünften Wurf wieder eine 6 kommt?
  P(5 × ⚅|4 × ⚅) = (¹/₆)⁵/(¹/₆)⁴ = ¹/₆, das heißt, die Wahrscheinlichkeit ist von den vorigen Würfen unabhängig. "Der Würfel hat kein Gedächtnis."

Baumdiagramme

Manche Aufgaben können wir uns mit einem Baumdiagramm veranschaulichen (s.u.).
Die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Weges werden multipliziert.
Kann man das gewünschte Ergebnis auf mehrere Arten erhalten, werden die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Wege addiert.

Beispiel:

Eine Urne enthält 3 rote und 6 blaue Kugeln. Es wird 3 mal je eine Kugel gezogen.

Ziehen mit Zurücklegen: P(0 × R) = P(BBB) = 6/9·6/9·6/9 = 8/27 = 0,296 P(1 × R) = P(RBB) + P(BRB) + P(BBR) = 3/9·6/9·6/9 + 6/9·3/9·6/9 + 6/9·6/9·3/9 = 12/27 = 0,444 P(2 × R) = P(RRB) + P(RBR) + P(BRR) = 3/9·3/9·6/9 + 3/9·6/9·3/9 + 6/9·3/9·3/9 = 6/27 = 0,222 P(3 × R) = P(RRR) = 3/9·3/9·3/9 = 1/27 = 0,037
Ziehen ohne Zurücklegen: P(0 × R) = P(BBB) = 6/9·5/8·4/7 = 20/84 = 0,238 P(1 × R) = P(RBB) + P(BRB) + P(BBR) = 3/9·6/8·5/7 + 6/9·3/8·5/7 + 6/9·5/8·3/7 = 45/84 = 0,536 P(2 × R) = P(RRB) + P(RBR) + P(BRR) = 3/9·2/8·6/7 + 3/9·6/8·2/7 + 6/9·3/8·2/7 = 18/84 = 0,214 P(3 × R) = P(RRR) = 3/9·2/8·1/7 = 1/84 = 0,012

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