Definition: an = a · a · ... · a (n Faktoren)
a ... Basis
n ... Hochzahl (Exponent)
Rechenregeln für Potenzen mit gleicher Basis:
am · an = am + n
am : an = am - n
(am)n = am·n
Einer Rechenart 2. (3.) Stufe entspricht also, wenn man nur die Hochzahlen betrachtet, eine Rechenart 1. (2.) Stufe.
Weitere Rechenregeln:
(a · b)n = an · bn
Nach der obigen Definition kann der Exponent nur eine natürliche Zahl sein. Ziel dieses Kapitels ist die Antwort auf die Frage: Haben auch Ausdrücke wie a-3 oder a1/2 einen Sinn? Prinzipiell könnten wir diese Ausdrücke beliebig definieren - allerdings sollen diese Definitionen auch sinnvoll sein, das heißt, die bekannten Rechenregeln sollen weiter gelten.
Was bedeutet a0? Dieser Ausdruck könnte z.B. als Ergebnis der folgenden Rechnung auftreten:
a1 : a1 = a1 - 1 = a0
Andrerseits ist a1 : a1 = 1, also erhalten wir: a0 = 1 (jede Zahl hoch 0 ist 1).
Ebenso ist
a1 : a2 = a1 - 2 = a-1,
andrerseits ist a1 : a2 = 1/a, also ist a-1 = 1/a.
Daher definiert man
a0 = 1
Eine negative Hochzahl bedeutet also, dass die Potenz (mit positiver Hochzahl) in den Nenner geschrieben wird (bzw. der Kehrwert gebildet wird).
Definition: Die n-te Wurzel einer Zahl a (n√a) ist die nicht negative Lösung der Gleichung xn = a.
(Wegen der Eindeutigkeit beschränken wir uns auf nicht negative Zahlen a und x.)
Rechenregeln:
Einige Tricks zum Rechnen mit Wurzeln:
Teilweises Wurzelziehen:
Auch wenn eine Wurzel nicht ganzzahlig ist, können wir sie oft so umformen, dass unter der
Wurzel eine möglichst kleine Zahl übrigbleibt.
Beispiel: √12 = √(4·3) =
√4·√3 = 2√3
Rationalmachen des Nenners:
Mit einem Bruch, bei dem im Nenner eine Wurzel steht, kann man schlecht rechnen. Daher erweitern wir so,
dass der Nenner rational wird:
Was bedeutet a1/2? Wir können rechnen:
a1/2 · a1/2 = a1/2 + 1/2 = a1 = a
Die Zahl, die mit sich selbst multipliziert a ergibt, ist aber √a. Das heißt: a1/2 = √a.
Analog definiert man
Die Rechenregeln für Wurzeln sind also Sonderfälle der Rechenregeln für Potenzen.
Lernziele
Ausführliche Erklärung: mathe online, Potenzen http://www.mathe-online.at/mathint/pot/i.html
Online-Kurs über Potenzen (mit interaktiven Tests):
http://www.johnny.ch/ot/index.htm
(Bei den Tests kannst du einen beliebigen Usernamen angeben.)