Als (reelle) Zahlenfolge bezeichnet man eine geordnete Folge von Zahlen:
(a1, a2, a3, ... ) oder a(1), a(2), a(3), ...
Das n-te Folgenglied schreibt man an oder a(n). n heißt Index von
an. (Manchmal beginnt man die Zählung auch mit a0.)
Jedem Index (jeder natürlichen Zahl) wird das entsprechende Folgenglied (eine reelle Zahl) zugeordnet. Wir können daher sagen:
Eine reelle Zahlenfolge ist eine Funktion ℕ → ℝ.
Eine Folge kann auf verschiedene Arten dargestellt werden:
man gibt an, wie man aus einem Folgenglied das nächste berechnet (rekursive Darstellung)
oder wie man aus n das n-te Folgenglied berechnet (explizite Darstellung).
Einige Beispiele:
| rekursiv | explizit | ||
| (1) | (2, 4, 6, 8, 10, ... ) | a1 = 2, an+1 = an + 2 | an = 2·n |
| (2) | (10, 9, 8, 7, 6, ... ) | a1 = 10, an+1 = an − 1 | an = 11 − n |
| (3) | (10, 20, 40, 80, 160, ... ) | a1 = 10, an+1 = 2·an | an = 5·2n |
| (4) | (0,3; 0,03; 0,003; 0,003; ... ) | a1 = 0,3; an+1 = an/10 | an = 3/10n |
| (5) | (−1, 1, −1, 1, −1, ... ) | a1 = −1, an+1 = −an | an = (−1)n |
| (6) | (1, 4, 9, 16, 25, ... ) | a1 = 1, an+1 = an + 2n + 1 | an = n2 |
| (7) | (1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... ) | |
|
| (8) | (1, 3/2, 5/3, 7/4, 9/5, ... ) | |
|
| (9) | (1, 2, 6, 24, 120, ... ) | a1 = 1, an+1 = (n + 1)·an | an = n! ("n Fakultät") |
| (10) | (1, 1, 2, 3, 5, 8, ... ) | a1 = a2 = 1, an+1 = an + an-1 | (kompliziert!) |
Einige Arten von Folgen haben eigene Namen.
Bei den Beispielfolgen (1) und (2) erhält man das jeweils nächste Glied, indem man zum vorigen eine (positive oder negative) Konstante k addiert. Eine solche Folge heißt arithmetische Folge. Ihr Bildungsgesetz lautet:
| Rekursiv: | an+1 = an + k |
| Explizit: | an = a1 + (n − 1)·k bzw. an = a0 + n·k |
Eine arithmetische Folge wird durch eine lineare Funktion dargestellt.
Jedes Folgenglied ist das arithmetische Mittel seiner beiden Nachbarn.
(Die konstante Differenz wird meist mit d abgekürzt. Ich habe k gewählt, damit der Zusammenhang mit den linearen Funktionen deutlicher wird.)
Bei den Beispielfolgen (3), (4) und (5) erhält man das jeweils nächste Glied, indem man das vorige mit einer Konstanten q multipliziert. Eine solche Folge heißt geometrische Folge. Ihr Bildungsgesetz lautet:
| Rekursiv: | an+1 = an · q |
| Explizit: | an = a1 · qn−1 bzw. an = a0 · qn |
Eine geometrische Folge wird durch eine Exponentialfunktion dargestellt.
Jedes Folgenglied ist das geometrische Mittel seiner beiden Nachbarn.
Wenn man die ersten n Glieder einer Folge addiert, erhält man die n-te Teilsumme:
sn = a1 + a2 + ... + an.
Mit dem Summenzeichen kann man das kürzer schreiben:
(Summe aller ai für i von 1 bis n).
Die Teilsummen bilden selber wieder eine Folge, man bezeichnet sie als Reihe.
(Zur Verwendung des Summenzeichens)
Beispiele:
Arithmetische Reihe: 
Geometrische Reihe: 
Monotonie:
Eine Folge (an) ist monoton wachsend, wenn die Folgenglieder immer größer werden:
an ≤ an+1 für alle n ∈ ℕ
Eine Folge (an) ist monoton fallend, wenn die Folgenglieder immer kleiner werden:
an ≥ an+1 für alle n ∈ ℕ
Wenn < oder > gilt, spricht man von strenger Monotonie.
Beispiel: Die Folgen (1), (3), (6) und (8) sind (streng) monoton wachsend; (2), (4) und (7) sind (streng) monoton fallend; (5) ist nicht monoton.
Schranken:
Eine Zahl so heißt obere Schranke der Folge (an), wenn alle Folgenglieder kleiner oder gleich so sind:
an ≤ so für alle n ∈ ℕ
Eine Zahl su heißt untere Schranke der Folge (an), wenn alle Folgenglieder größer oder gleich su sind:
an ≥ su für alle n ∈ ℕ
Eine Folge heißt beschränkt, wenn sie eine obere und eine untere Schranke besitzt.
Beispiele:
(1): untere Schranke (z.B.) 0, nach oben unbeschränkt
(2): obere Schranke (z.B.) 10, nach unten unbeschränkt
(7): untere Schranke (z.B.) 0, obere Schranke (z.B.) 1
Rechenbeispiel zur Beschränktheit
Grenzwert und Konvergenz:
Bei manchen Folgen stellen wir fest, dass sich die Folgenglieder einer bestimmten Zahl annähern: (4) und (7) nähern sich 0, (8) nähert sich 2. Diese Zahl heißt Grenzwert oder Limes der Folge:
Die Zahl a heißt Grenzwert der Folge (an), wenn die Differenz |an - a| für genügend große n beliebig klein wird.
Man schreibt: limn→∞an = a
(Limes von an für n gegen unendlich).
Eine Folge, die einen Grenzwert besitzt, heißt konvergent (sie konvergiert bzw. strebt gegen a).
Eine Folge, die keinen Grenzwert besitzt, heißt divergent.
Wenn eine Folge monoton und beschränkt ist, ist sie konvergent.
Beispiel:
Die Folge (7) (an = 1/n) konvergiert gegen 0. Die Folgenglieder nehmen zwar nie den Wert 0 an,
aber die Differenz |an - 0| wird kleiner als jede beliebige Zahl ε.
Setzen wir z.B. ε = 0,01:
Ab dem 101. Folgenglied ist also die Differenz kleiner als 0,01.
Ebenso können wir zu jedem anderen ε einen Index n finden, ab dem gilt:
|an - 0| < ε.
Viele Grenzwerte lasen sich mit Hilfe der Grenzwertsätze berechnen:
Sind (an) und (bn) zwei konvergente Folgen mit limn→∞an = a,
limn→∞bn = b, so gilt:
limn→∞(an + bn) = a + b
limn→∞(an - bn) = a - b
limn→∞(an·bn) = a·b
limn→∞(an/bn) = a/b
(Die letzte Formel gilt nur für b ≠ 0.)
Den Grenzwert einer Reihe definiert man analog:
Eine unendliche Reihe ist konvergent, wenn die Folge der Teilsummen konvergiert. Den Grenzwert
s bezeichnet man dann als "Summe der unendliche Reihe":
s = limn→∞sn
Eine geometrische Reihe konvergiert, wenn |q| < 1 ist.
Summe der unendlichen geometrischen Reihe: 
für |q| < 1.
Links:
Das mathe online-Applet "Numerische Berechnung von Folgen"
Mit dem mathe online-Test "Arithmetisch oder geometrisch?"
Lernziele
