Gleichungen 3. Grades

Eine Gleichung der Form

a · x³ + b · x² + c · x + d = 0         bzw.
x³ + p · x² + q · x + r = 0

heißt kubische Gleichung bzw. Gleichung 3. Grades.
Die allgemeine Lösungsformel für kubische Gleichungen ist sehr kompliziert und wird daher in der Praxis kaum benutzt. In einigen Fällen können wir aber eine Gleichung 3. Grades auf eine quadratische Gleichung zurückführen.

• p = q = 0

  x³ − 8 = 0 | + 8
  x³ = 8
  x = ∛8
  x = 2

  x³ + 125 = 0 | −125
  x³ = −125
  x = −5

(Da die 3. Potenz einer negativen Zahl negativ ist, ist die Lösung hier eindeutig!)

• r = 0

  x³ − 5 · x² + 6 · x = 0
  x = 0 oder x² − 5 · x + 6 = 0
  x₁ = 0, x₂ = 2, x₃ = 3

Wir haben die Gleichung in eine lineare und eine quadratische Gleichung aufgespalten. (Man sagt auch, wir haben den Linearfaktor x abgespalten.) Diese können wir schon lösen und erhalten

• Eine Lösung ist bekannt (aus der Angabe oder durch Probieren):

  Der Satz von Vieta gilt auch für Gleichungen höheren Grades. Hat also eine kubische Gleichung die Lösungen x₁, x₂ und x₃, so ist

  x³ + p · x² + q · x + r = (x − x₁) · (x − x₂) · (x − x₃)

  .

  Kennen wir zum Beispiel die Lösung x₁, so können wir die linke Seite der Gleichung durch (x − x₁) dividieren (den Linearfaktor (x − x₁) abspalten) und erhalten eine quadratische Gleichung.

  Wenn überhaupt eine ganzzahlige Lösung existiert, muss sie ein Teiler des absoluten Glieds r sein.

  Beispiel:

  x³ − 4 · x² + x + 6 = 0

  Mögliche (ganzzahlige) Lösungen: ±1, ±2, ±3, ±6
  Durch Probieren findet man x₁ = 2

  (x³ − 4 · x² + x + 6 = 0) : (x − 2) = x² − 2 · x − 3
  x² − 2 · x − 3 = 0 ⇒ x₂ = −1, x₃ = 3

  Mit dem Horner-Schema kann man das Probieren und die Division in einem Schritt zusammenfassen.

Ebenso kann man Gleichungen höheren Grades lösen, indem man einen Linearfaktor nach dem anderen abspaltet.

Biquadratische Gleichungen

Ein Sonderfall der Gleichungen 4. Grades: Es kommen nur x⁴ und x² vor.
Wenn man x² = t setzt, erhält man eine quadratische Gleichung.

Beispiel:

x⁴ − 10 · x² + 9 = 0
x² = t: ² − 10 · t + 9 = 0
t₁ = 1 ⇒ x_1,2 = ±1
t₂ = 9 ⇒ x_3,4 = ±3

(Analog rechnet man, wenn z.B. nur x⁶ und x³ vorkommen.)

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