Schneidet man einen Kegel mit einer Ebene, so erhält man - je nachdem, wie stark die Ebene geneigt ist - einen Kreis, eine Ellipse, eine Parabel oder eine Hyperbel.
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Die Ellipse besteht aus allen Punkten, für die die Summe der Abstände von zwei festen Punkten - den Brennpunkten - konstant ist. |
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A, B: Hauptscheitel C, D: Nebenscheitel F1, F2: Brennpunkte 2a: Hauptachse 2b: Nebenachse e: Brennweite (lineare Exzentrizität) |
1. Hauptlage: Mittelpunkt im Koordinatenursprung, Hauptachse auf der x-Achse
2. Hauptlage: Mittelpunkt im Koordinatenursprung, Hauptachse auf der y-Achse
Definition: ell = {X / XF1 + XF2 = 2a}
Brennweite: e2 = a2 - b2
Gleichung in 1. Hauptlage: 
Gleichung in 2. Hauptlage: 
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Die Hyperbel besteht aus allen Punkten, für die die Differenz der Abstände von den Brennpunkten konstant ist. Sie besteht aus zwei Ästen und besitzt zwei Asymptoten. |
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A, B: Hauptscheitel C, D: Nebenscheitel F1, F2: Brennpunkte 2a: Hauptachse 2b: Nebenachse e: Brennweite (lineare Exzentrizität) u, v: Asymptoten |
Bei einer gleichseitigen Hyperbel ist a = b.
1. und 2. Hauptlage definiert man wie bei der Ellipse.
Definition: hyp = {X / |XF1 - XF2| = 2a}
Brennweite: e2 = a2 + b2
Gleichung in 1. Hauptlage: 
Gleichung der Asymptoten (1. Hauptlage): 
Gleichung in 2. Hauptlage: 
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Die Parabel hat nur einen Brennpunkt. Sie besteht aus allen Punkten, die vom Brennpunkt denselben Abstand wie von der Leitlinie haben. S: Scheitel |
1. Hauptlage: Scheitel im Koordinatenursprung, Achse auf der positiven x-Achse
2. Hauptlage: Scheitel im Koordinatenursprung, Achse auf der positiven y-Achse
Definition: par = {X / XF = Xl}
Brennweite: p = 2e
Gleichung in 1. Hauptlage: y2 = 2px
Gleichung in 2. Hauptlage: x2 = 2py
Eine Hilfe beim Zeichnen eines Kegelschnitts sind die Scheitelschmiegkreise:
Lernziele
Für besonders Interessierte: Mehr über Kegelschnitte